Ellipsoid
(b>>a)
次には回転楕円体（Ellipsoid）・並進から．
Howardの本によると，
| Parameter | Direction | Ellipsoid |
|
||
| \(\Large \gamma_{ \parallel }\) | |
\(\Large \frac{4 \pi \eta b}{ln((2b)/a)-0.5} \) |
| \(\Large \gamma_{ \perp } \) | |
\(\Large \frac{8 \pi \eta b}{ln((2b)/a)+0.5} \) |
となっています．図示すると，長軸方向への並進が長軸半径が小さくなると変なカーブになります
短軸：0.5 ミクロン
粘度：1 mPa.s
・Perrinの論文
Howardの教科書の図の説明を見ると，
and those for prolate ellipsoids are from Perrin, 1934.
とあります．1934年！昭和9年！，早速調べていきましょう．
さて，調べてみると，
Brownian Motion and Dielectric Dispersion of Ellipsoidal Molecules 1934
Mouvement brownien d’un ellipsoide - I. Dispersion diélectrique pour des molécules ellipsoidales
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RAD1UM
というもので，ここ，がヒットしました．
しかし．．．．フランス語！，さらに有料，15ユーロ，ということで諦めかけていたのですが．．．．
フランスの国立オープンアーカイブ HAL (Hyper Articles en Ligne) にて「Journal de Physique Archives」としてデジタル化されており、そちらから無料（オープンアクセス）でダウンロードが可能でした．
多分，変なサイトじゃないと思います．
しかし．．．フランス語の論文なので，なかなか解読するのは大変．．．ということで，Google notebook LM，の力を借りて調べてみると，
式8,10，
に並進の式が掲載されていました．
式8
\(\Large f_{||} = 16 \pi \eta \frac{a^2 - b^2}{(2a^2 - b^2)S - 2a} \)
\(\Large f_{\bot} = 32 \pi \eta \frac{a^2 - b^2}{(2a^2 - 3b^2)S + 2a} \)
式10
\(\Large S = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \ ln \left( \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{b}\right) \)
この式を用いて，Howardの式，と比較してみると，
と長軸半径aが，小さくても（短軸半径と同程度），破綻なく再現できていることがわかります．
丸点線，は球の場合の粘性抵抗係数です，長軸，短軸ともにうまく収束していく ことがわかります．
・PerrinとHowardとの比較
では，Howardはどのような近似を行ったのでしょう？
Howardの式は，並進は，
b : 長軸半径
a : 短軸半径
\(\Large f_{||} = \frac{4 \pi \eta b}{ln(2b/a) - 0.5} \)
\(\Large f_{\bot} = \frac{8 \pi \eta b}{ln(2b/a) + 0.5} \)
ですが，なぜか長軸と短軸の表記がPerrinとは逆になっています．そこで，Perrinの表記に従うように修正すると，
a : 長軸半径
b : 短軸半径
\(\Large f_{||} = \frac{4 \pi \eta a}{ln(2a/b) - 0.5} \)
\(\Large f_{\bot} = \frac{8 \pi \eta a}{ln(2a/b) + 0.5} \)
とします．
Perrinの式において，a >> bと近似すると，
\(\Large S = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \ ln \left( \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{b}\right) \simeq \frac{2}{a} \ ln \left( \frac{2a}{b}\right) \)
\(\Large f_{||} = 16 \pi \eta \frac{a^2 - b^2}{(2a^2 - b^2)S - 2a} \simeq 16 \pi \eta \frac{a^2}{2a^2 \ \frac{2}{a} \ ln \left( \frac{2a}{b}\right) - 2a} \)
\(\Large = 16 \pi \eta \frac{a}{4 \ ln ( 2a/b) - 2} = \frac{4 \pi \eta a}{ln(2a/b) - 0.5} \)
と一致することがわかります．
\(\Large f_{\bot} = 32 \pi \eta \frac{a^2 - b^2}{(2a^2 - 3b^2)S + 2a} \simeq 32 \pi \eta \frac{a^2}{2a^2 \ \frac{2}{a} \ ln \left( \frac{2a}{b}\right) + 2a} \)
\(\Large = 32 \pi \eta \frac{a}{4 \ ln \left( \frac{2a}{b}\right) + 2} = \frac{8 \pi \eta a}{ ln (2a/b) + 0.5} \)
と一致することがわかります．
次は，回転楕円体（Ellipsoid）の回転，を考えていきましょう
